Diketahui vektor a = 4i - 2j +2k dan vektor b = 2i - 6j + 4k. proyeksi orthogonal vektor b pada vektor a adalah ?

Diketahui vektor a = 4i - 2j +2k dan vektor b = 2i - 6j + 4k. proyeksi orthogonal vektor b pada vektor a adalah ?
Soal matematika untuk sekolah menengah atas kelas 10 / X tentang pembahasan proyeksi orthogonal vertal pada suatu vektor dengan vektor yang lain. Vektor sendiri adalah besaran nilai dan juga arah, jadi untuk proyeksi ortogonal pada vektor adalah proyeksi yang mana bidang proyeksi tersebut dan membentuk sudut tegak lurus terhadap di proyektor. Sebagai contoh proyeksi suatu garis dengan proyeksi ortogonal sebuah benda atau bisa di bilang objek tertentu.

Seperti yang telah kita tahu proyeksi sendiri punya arti yaitu bayangan suatu benda atau objek dari benda aslinya. Jika di gambarkan dan juga diberi angka, antara gambar bayangan dan juga dari objek aslinya.

Rumus-rumus dalam vektor :
Baris: u = (u₁, u₂, u₃)
Kolom: u = $\left[\begin{array}{ccc}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{array}\right]$

Basis: u = u₁i + u₂j + u₃k

Panjang vektor : |u| = $\sqrt{{u_{1}}^{2} + {u_{2}}^{2} + {u_{3}}^{2}}$

Perkalian vektor
u . v = u₁.v₁ + u₂.v₂ + u₃.v₃

Proyeksi vektor orthogonal vektor u pada v
= $\frac{\bar{u} . \bar{v}}{|\bar{v}|^{2}} . \bar{v}$
Proyeksi skalar orthogonal vektor u pada v
= $|\frac{\bar{u} . \bar{v}}{|\bar{v}|}|$

Bagaimana kita langsung saja ke pembahasan dari pernyataan matematika di atas.
Diketahui vektor a = 4i - 2j +2k dan vektor b = 2i - 6j + 4k. Tentukan proyeksi ortogonal vektor b pada vektor a ?

Diketahui :
Vektor a 4i - 2j +2k
Vektor b 2i - 6j + 4k

Proyeksi ortogobal vektor b ke a....?

Hal pertama yang kita lakukan adalah mencari nilai a.b terlebih dulu menggunakan rumus perkalian vektor. Setelah itu menentukan nilai dari a1 sampai dengan b3.

nilai a1-a3 dikalikan b1-b3= $\left[\begin{array}{ccc}2\\-6\\4\end{array}\right] \: . \: \left[\begin{array}{ccc}4\\-2\\2\end{array}\right]$
Bisa dijabarkan lagi :
b1=2, b2=-6, b3=4
a1=4, a2=-2, a3=2
Kita selesaikan dengan rumus perkalian vektor u . v = u₁.v₁ + u₂.v₂ + u₃.v₃

b.a = $\left[\begin{array}{ccc}2\\-6\\4\end{array}\right] \: . \: \left[\begin{array}{ccc}4\\-2\\2\end{array}\right]$

b . a = 2(4) + (–6)( –2) + 4(2)
b . a = 8 + 12 ( min dikalikan min menjadi plus + ) + 8
b . a = 28, jadi kita dapat nilainya a.b / b.a

Kemudian mencari nilai dari panjang vektor a, tapi mengapa yang dihitung bukan vektor b nya ? nah untuk menjawab itu kalian tak perlu bingung. Karena vektor a sendiri menjadi acuan atau dari mana proyeksi itu berasal. Di sini kita pakai rumus panjang vektor, jadi kita harus tahu panjang vektor a.

|u|= $\sqrt{{u_{1}}^{2} + {u_{2}}^{2} + {u_{3}}^{2}}$
a1=4, a2=-2, a3=2
|a| = $\sqrt{4^{2} + (-2)^{2} + 2^{2}}$
|a| = $\sqrt{16 + 4 + 4}$
|a| = $\sqrt{24}$

Langkah terakhir adalah mencari proyeksi orthogonalnya,
=